Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 15 декабря 2012 г.

Физический смысл производной.




Ещё часть задач из раздела В8 ЕГЭ по математике связана с физическим смыслом производной. Напомним его.  
Если положение точки при её движении задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S  есть мгновенная скорость движения в момент времени t, v(t) = S'(t).
Скорость – есть производная от пути по времени.

Уместно заметить, что ускорение – это скорость изменения скорости тела, значит а(t) = v'(t)= S''(t).
Ускорение – есть производная от скорости по времени, или вторая производная от пути по времени.
Кстати, по аналогии вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.


Решим несколько задач уровня В8 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.
Пример 1. Решим задание В8 (№ 119975). 
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 – 48t + 17  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9c.
Решение.
1. Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17 :
 x'(t) = 12t - 48  
2. Найдем значение производной в точке t = 9:
 x'(9) = 12×9 - 48
 x'(9) = 60.
Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В8 (№ 122875). 
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t4 +6t3 + 2t2+ 9t - 22 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.
Решение.
1. Найдем производную функции x(t) = - t4 +6t3 + 2t2+ 9t - 22:
 x'(t) = -4t3 + 18t2+ 4t + 9
2. Найдем значение производной в точке t = 3:
 x'(3) = -4×33 + 18×32+ 4×3 + 9
 x'(3) = 75.
Ответ: 75 м/с.


Пример 3. Решим задание В8 (№ 119978)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 – 13t + 23 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Решение.
Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17
 x'(t) = 2t - 13
По условию, скорость точки равна 3 м/с.
Получаем уравнение:
 x'(t) = 2t – 13= 3, 2t = 16
Отсюда  t = 8 с.
Ответ: 8

Пример 4. Аналогичное задание.  Задание В8 (№123871)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 88 м/с?
Решение.
Найдем производную функции x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4:
 x'(t) = 3t2- 12t - 8
По условию, скорость точки равна 88 м/с.
Получаем уравнение:
 x'(t) = 3t2- 12t – 8 =88
Решим его:
3t2- 12t – 8 =88
3t2- 12t – 96 =0, разделим обе части уравнения на 3,
t2- 4t – 32 =0
t1 = 8,
t2 = - 4 – не соответствует условию задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ: 8


Потренируйтесь сами.
Задание B8 (№ 121761)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 7t - 3 , где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10c.
Ответ: 27 м/с.

Задание B8 (№ 121763)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 2t - 14  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 14 м/с.

Задание B8 (№ 121765)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 6t + 16, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 18 м/с.

Задание B8 (№ 121769)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,25t2 + 6t + 25, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10с.
Ответ: 11 м/с.

Задание B8 (№ 121771)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 4t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 16 м/с.

Задание B8 (№ 122877)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t4 +t3 + 6t2- 5t - 30 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.
Ответ: 47 м/с.

Задание B8 (№ 122879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t4 +9t2+ 4t - 7 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.
Ответ: 8 м/с.

Задание B8 (№ 123879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 3t2- 7t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Ответ: 3 м/с.