Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 15 декабря 2012 г.

Физический смысл производной.




Ещё часть задач из раздела В8 ЕГЭ по математике связана с физическим смыслом производной. Напомним его.  
Если положение точки при её движении задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S  есть мгновенная скорость движения в момент времени t, v(t) = S'(t).
Скорость – есть производная от пути по времени.

Уместно заметить, что ускорение – это скорость изменения скорости тела, значит а(t) = v'(t)= S''(t).
Ускорение – есть производная от скорости по времени, или вторая производная от пути по времени.
Кстати, по аналогии вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.


Решим несколько задач уровня В8 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.
Пример 1. Решим задание В8 (№ 119975). 
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 – 48t + 17  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9c.
Решение.
1. Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17 :
 x'(t) = 12t - 48  
2. Найдем значение производной в точке t = 9:
 x'(9) = 12×9 - 48
 x'(9) = 60.
Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В8 (№ 122875). 
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t4 +6t3 + 2t2+ 9t - 22 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.
Решение.
1. Найдем производную функции x(t) = - t4 +6t3 + 2t2+ 9t - 22:
 x'(t) = -4t3 + 18t2+ 4t + 9
2. Найдем значение производной в точке t = 3:
 x'(3) = -4×33 + 18×32+ 4×3 + 9
 x'(3) = 75.
Ответ: 75 м/с.


Пример 3. Решим задание В8 (№ 119978)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 – 13t + 23 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Решение.
Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17
 x'(t) = 2t - 13
По условию, скорость точки равна 3 м/с.
Получаем уравнение:
 x'(t) = 2t – 13= 3, 2t = 16
Отсюда  t = 8 с.
Ответ: 8

Пример 4. Аналогичное задание.  Задание В8 (№123871)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 88 м/с?
Решение.
Найдем производную функции x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4:
 x'(t) = 3t2- 12t - 8
По условию, скорость точки равна 88 м/с.
Получаем уравнение:
 x'(t) = 3t2- 12t – 8 =88
Решим его:
3t2- 12t – 8 =88
3t2- 12t – 96 =0, разделим обе части уравнения на 3,
t2- 4t – 32 =0
t1 = 8,
t2 = - 4 – не соответствует условию задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ: 8


Потренируйтесь сами.
Задание B8 (№ 121761)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 7t - 3 , где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10c.
Ответ: 27 м/с.

Задание B8 (№ 121763)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 2t - 14  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 14 м/с.

Задание B8 (№ 121765)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 6t + 16, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 18 м/с.

Задание B8 (№ 121769)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,25t2 + 6t + 25, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10с.
Ответ: 11 м/с.

Задание B8 (№ 121771)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 4t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 16 м/с.

Задание B8 (№ 122877)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t4 +t3 + 6t2- 5t - 30 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.
Ответ: 47 м/с.

Задание B8 (№ 122879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t4 +9t2+ 4t - 7 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.
Ответ: 8 м/с.

Задание B8 (№ 123879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 3t2- 7t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Ответ: 3 м/с.

5 комментариев:

  1. Уважаемый Олег!
    У меня вопрос по терминологии.
    В школьном курсе физики скорость определяется как ПРОИЗВОДНАЯ функции расстояния и времени.
    А как в данном контексте будут правильно называться расстояние и время?
    Исходные величины? Аргументы? Или как-то ещё?
    Заранее спасибо.
    Михаил

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Мгновенная скорость – есть производная функции, по которой вычисляется расстояние, по времени.
      Расстояние - исходная функция. Время - аргумент.
      Если известна функция по которой изменяется скорость, то расстояние будет первообразной от скорости по времени. Но первообразных для каждой функции бесконечно много, поэтому должны быть дополнительные условия.

      Удалить
  2. решите пожалуйста
    Точка движется прямолинейно по закону s(t)=1/6t^3+1/2t^2-5(м)
    Найти этой точки через время t=4c после начала движения

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Если надо найти скорость, то сначала находим производную функции s и подставляем в её уравнение число 4 вместо t.
      s'(t)= 1/2t^2+t,
      s'(4)= 1/24^2+4=12.

      Удалить