Решение задач на движение

Мы продолжаем решение текстовых задач, подобных тем, что будут на ЕГЭ в 2015 году в
задании №13. В демонстрационном варианте (проекте) опубликована следующая задача:

Весной катер идёт против течения реки в 5/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому катер идёт против течения в 1,5 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Решение.

Первая часть.

Пусть x км/ч – скорость течения реки весной,

а км/ч – собственная скорость катера,

тогда скорость катера по течению равна а + х км/ч,

скорость катера против течения равна а – х км/ч.

Так как катер идёт весной против течения в 5/3 раза медленнее, чем по течению, получаем уравнение:

а + х = 5/3(а – х), умножив на 3 обе части уравнения и раскрыв скобки получаем 3а + 3х = 5а – 5х, после приведения подобных имеем 8х = 2а или 4х = а.

 Переходим ко второй части задачи. Летом скорость течения реки на 1 км/ч меньше, то есть равна x - 1 км/ч.

Тогда скорость катера по течению равна а + х - 1 км/ч, скорость катера против течения равна а – х + 1 км/ч.

Так как катер идёт летом против течения в 1,5 раза медленнее, чем по течению, получаем уравнение:

а + х – 1 = 1,5(а – х + 1), умножив на 2 обе части уравнения и раскрыв скобки получаем 2а + 2х – 2 = 3а – 3х + 3, после приведения подобных имеем 5х = а + 5.  Из первой части мы имеем 4х = а, значит 5х = 4х + 5 и х = 5.

Ответ: 5

 

2. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.  Скорость сближения поездов 65 + 35 = 100 (км/ч) = 1000/36 (м/с). Общий путь за 36 с составляет  1000/36 * 36 = 1000 (м). Тогда 1000 – 700 = 300 (м) - длина скорого поезда.

Ответ: 300 м

3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.  Важно понять, что в отличие от задачи 2, придорожный столб зафиксирован. Поезд за 36 с проезжает расстояние, равное собственной длине, со скоростью 80 км/ч = 80 * 1000/3600 (м/с) =  800/36 (м/с). Длина поезда 800/36 * 36 = 800 (м).

Ответ: 800 м

4. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Напомним основную формулу: Средняя скорость =  путь/время. Весь пройденный путь равен 190 + 180 + 170 = 540 км.

Всё затраченное время 190/50 + 180/90 + 170/100 = 7,5 часа. Осталось разделить 540 на 7,5.

Ответ: 72 км/ч