Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

вторник, 15 декабря 2015 г.

Цилиндр, конус, шар



Готовимся к контрольной работе по теме «Цилиндр, конус и шар»

Задача 1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания цилиндра равна 36π см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Решение. Из условия площадь основания цилиндра равна 36π = πR2, то есть 36 = R2, R=6.
Так как осевое сечение цилиндра – квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания h=2R=12.
Подставляем найденные величины в формулу полной поверхности цилиндра S = 2πR(R+h) = 2π*6*(6+12) = 216π.
Ответ 216π.

Задача 2.  Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120º.
а) Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30º.

б) Найти площадь боковой поверхности конуса.
Решение. Из условия угол АРВ равен 120 градусам, значит, угол ОРВ равен 60 градусам, а угол РВО – 30 градусов. По свойству катета, лежащего против угла, равного 30 градусам РО = 0,5 РВ. Образующая РВ = 2*РО = 12см.
а) Найдём площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие РВ и РС, угол между которыми равен 30º. Площадь треугольника РВС равна половине произведения двух сторон РВ и РС на синус угла между ними. Синус же 30 градусов равен 0,5. То есть получаем
SРВС = 0,5*12*12*0,5 =36 см2.
б) Найдём площадь боковой поверхности конуса. Для этого надо знать радиус конуса. Его найдём из треугольника РВО по теореме Пифагора
R2= ОВ2= РВ2 – ОР2 = 144 – 36 = 108, R=6 квадратных корней из трёх.
Sбок = pRl =p*6 квадратных корней из трёх*12 = 72*ПИ* квадратный корень из трёх см2.
Ответ а) 36.
            б) 72*ПИ* квадратный корень из трёх

Задача 3.  Диаметр шара равен 8. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45º к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Решение. Из условия следует, что радиус ОВ равен 4. В прямоугольном треугольнике ОО1В катеты ОО1 и О1В равны. Тогда по теореме Пифагора можно найти их длину
О1В2+ О1В2=ОВ2, 2О1В2=42, 2О1В2= 16, О1В2= 8. О1В=2*квадратный корень из двух.
Найдём длину окружности - линии пересечения сферы плоскостью. С = 2*ПИ*R = 2*ПИ*2* квадратный корень из двух= 4*ПИ*квадратный корень из двух.
Ответ 4*ПИ*квадратный корень из двух.

Задача 4.  Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 6 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
 Решение. Из условия следует, что треугольник ВОС равнобедренный и прямоугольный, значит ОК = ВК = КС = 6:2 =3 см.
По теореме Пифагора найдём радиус основания конуса ОВ, ОК2+ КВ2=ОВ2, 32+ 32=ОВ2,
ОВ2= 18. ОВ=3.
В треугольнике РОК угол РКО равен 60 градусам, по условию. Значит угол КРО равен 30 градусам РК = 2*ОК =6 см. Из треугольника РВК найдём образующую РВ по теореме Пифагора РВ2=РК2+ВК2 = 62+32 = 45. РВ=3.
Площадь боковой поверхности конуса будет равна Sбок = pRl =p*3*3 = 9 p см2.
Ответ 9 p.