Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

пятница, 27 ноября 2015 г.

Когда учитель отключает телефон



Задание 18, базовый уровень.
Логические задания (продолжение).
Задача 1. Когда учитель физики Николай Дмитриевич ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.


  1. 1. Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он не ведёт урок.
    2.  Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он ведёт урок.
    3.      Если Николай Дмитриевич проводит на уроке лабораторную работу по физике, значит, его телефон выключен.
    4.      Если Николай Дмитриевич ведёт урок физики, значит, его телефон включён.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение. Первое утверждение истинно, так как если Николай Дмитриевич ведёт урок, то телефон выключен. Поэтому же второе утверждение ложно.
Третье утверждение истинно, так как телефон выключен на любом уроке.
Четвёртое утверждение ложно, так как телефон выключен на любом уроке.
Ответ 13.

Если Денис старше Егора



Задание 18, базовый уровень.

Логические задания.
Задача 1. Школа приобрела стол, доску, магнитофон и принтер. Известно, что принтер дороже магнитофона, а доска дешевле магнитофона и дешевле стола. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
  1.   Магнитофон дешевле доски.
  2. Принтер дороже доски.
  3. Доска — самая дешёвая из покупок.
  4.  Принтер и доска стоят одинаково.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение. Способ решения может быть таким. Сравниваем стоимость предметов с помощью неравенств.
П>М, М>Д,
С>Д.
Из этих неравенств хорошо видно, что доска самая дешёвая, принтер дороже доски. Утверждения 1 и 4 – ложные.
Ответ 23.

четверг, 12 ноября 2015 г.

Найдите число



За­да­ние под номером 19 ЕГЭ базового уровня.

Задача 1. Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3 и ко­то­рое за­пи­са­но тремя раз­лич­ны­ми нечётными циф­ра­ми.
Решение. Из условия, что искомое число при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, следует, что это число нечётное. Из условия, что искомое число при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3, следует, что это число оканчивается тройкой. Последнюю цифру нашли. Из условия, что искомое число при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, следует, что это сумма цифр, из которых состоит число должна равнять 5, 8 или 11. Так как цифры должны быть разными, то их сумма не может быть равна 5. Наименьшее двузначное число с суммой цифр 8, это 17. Значит искомое число 173.
Ответ 173.

Задача 2. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

среда, 11 ноября 2015 г.

Как распилить палку или бревно.



Задача 1. Толя и Коля распилили бревно на три части за 12 минут. За сколько минут они
распилят такое же бревно на 4 части, если скорость работы останется такой же?
Решение. Для того  чтобы распилить бревно на 3 части необходимо сделать 2 распила. Значит на каждый распил они тратили 12:2 = 6 минут. Для того  чтобы распилить бревно на 4 части необходимо сделать 3 распила. Значит, затрачено будет 6*3 = 18 минут.
Ответ 18.
Задача 2. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым  7 кусков, а если по зелёным  11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

вторник, 10 ноября 2015 г.

Вычисляем объём и площадь поверхности



Задача 1. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы
прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Решение. 1 способ. Данную деталь можно получить вырезав из прямоугольного параллелепипеда размерами 4*2*5 меньшего прямоугольного параллелепипеда размерами 3*2*2. Соответственно объём данного многогранника равен 4*2*5 - 3*2*2 = 40 – 12 = 28.
Ответ 28.
Решение. 2 способ. Данную деталь можно получить добавлением (приклеиванием) к прямоугольному параллелепипеду размерами 4*2*3 меньшего прямоугольного параллелепипеда размерами 1*2*2. Соответственно объём данного многогранника равен 4*2*3 + 1*2*2 = 24 + 4 = 28.
Ответ 28.
Задача 2. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Измеряем объём деталей на ЕГЭ по математике



Задача 1. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения
в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Решение. Поскольку уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза, то общий объём стал 5*1,4=7 литров. Тогда объём детали равен 7-5=2 литра или 2000 кубических сантиметров.
Ответ 2000.
Задача 2. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Решение. Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы  в основании лежит квадрат. Поскольку уровень воды в баке поднялся на 10 см, то объём детали равен 40*40*10= 16000 кубических сантиметров.
Ответ 16000.

понедельник, 9 ноября 2015 г.

Теория вероятностей на ЕГЭ по математике

Курс Анны Малковой.

Человек и уличный фонарь




Задача 1. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
Решение. Изобразим схематический чертёж. На нём АВ – высота фонаря, СК – высота человека и она равна 1,6 м. АС=17 м, СЕ= 8 м.
Заметим, что треугольники АВЕ и СКЕ подобны. Они прямоугольные и угол Е – общий. Значит, соответствующие стороны пропорциональны. АВ:КС=АЕ:СЕ.
Отсюда АВ : 1,6 = 25 : 8, или АВ=5.
Ответ 5.

Задача 2. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит
на расстоянии 4 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
Решение. Изобразим схематический чертёж. На нём АВ – высота фонаря, СК – высота человека и она равна 1,8 м. АС=4 м, СЕ= 1 м.
Заметим, что треугольники АВЕ и СКЕ подобны. Они прямоугольные и угол Е – общий. Значит, соответствующие стороны пропорциональны. АВ:КС=АЕ:СЕ.
Отсюда АВ : 1,8 = 5 : 1, или АВ=9.
Ответ 9.

Задачи для самостоятельного решения.

Трапеция на ЕГЭ. Базовый уровень.



Трапеция на ЕГЭ. Базовый уровень.
Задачи из открытого банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, BDA=54° и BDC=23°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение. В данной трапеции угол АDC при нижнем основании равен сумме углов АDВ и ВDC, равен 54 + 23 =77 градусам. Поскольку трапеция равнобедренная, то углы при нижнем основании равны и угол ВАD тоже равен 77 градусам. Сумма углов ВАD и АВD равна 180 градусам (односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ). Значит угол АВС равен 180 – 77 =103 градусам.
Далее используем равенство углов АDВ и DВС (накрестлежащие при параллельных прямых АD и ВС и секущей ВD). Значит угол АВD равен 103 – 54 =49 градусам.
Ответ 49.
Задача 2. Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24, боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции.

суббота, 7 ноября 2015 г.

Объём аквариума



Задачи из открытого банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см
× 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
Решение. Чтобы найти объём аквариума мы должны перемножить три его измерения: длину, ширину, высоту. 80 см × 30 см × 40 см = 96000 кубических сантиметров или 96 литров.
Ответ 96.
Задача 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

среда, 4 ноября 2015 г.

Огородить дачный участок



Задача 1. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров.
Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую длину забора в метрах.
Решение. Весь забор состоит из 5 участков. Из них две длинных стороны по 30 метров и три более коротких по 25 метров. Общая длина равна 2*30 + 3*25 = 135.
Ответ 135.
Задача 2. Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 40 м и 50 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.
Решение. Чтобы решить эту задачу, мы должны найти периметр прямоугольника и вычесть из него ширину проезда. Получаем 40 + 40 + 50 + 50 – 3 = 177 метров.
Ответ 177.

Равнобедренный треугольник, медиана



Планиметрия на ЕГЭ. Базовый уровень.

Задача. В треугольнике ABC известно, что AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы BM.
Решение. Так как медиана треугольника, это отрезок соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, то АМ = МС = 24:2 = 12.
По свойству равнобедренного треугольника медиана ВМ является и высотой. Значит, треугольник АВМ прямоугольный и мы можем применить теорему Пифагора. Чтобы найти квадрат катета ВМ мы должны из квадрата гипотенузы АВ вычесть квадрат катета АМ. ВМ2 = АВ2 – АМ2 = 225 – 144 = 81. Значит ВМ = 9.
Ответ 9.
Задача. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 4. Площадь треугольника АВС равна восьми корням из пяти. Найдите длину стороны АВ.

Арифметика судьбы...



Арифметика судьбы
Кое как у нас сложилась...
Отнялось и поделилось,
Не без классовой борьбы...

Умножения черёд.
По исписанной тетрадке
Деревянные лошадки
Скачут задом наперёд.

Затихает дробь копыт,
В столбик выстроились даты...
Там, где жили мы когда-то,
Гомон, песни, чай кипит...

вторник, 3 ноября 2015 г.

Где треугольник острым жалом



Нарушение гармонии

Ультрамариновое небо,
От бурь вспотевшая земля,
И развернулись желчью хлеба
Шахматною доской поля.
Кто, вышедший из темной дали,
Впитавший мощь подземных сил,
В простор земли печатью стали
Прямоугольники вонзил.
Кто, в даль впиваясь мутным взором,
Нажатьем медленной руки
Геодезическим прибором
Рвет молча землю на куски.
О Землемер, во сне усталом
Ты видишь тот далекий скат,
Где треугольник острым жалом
Впился в очерченный квадрат.
И циркуль круг чертит размерно,
И линия проведена.

понедельник, 2 ноября 2015 г.

200 лет Джорджу Булю.



Сегодня, 2 ноября исполняется 200 лет со дня рождения замечательного английского учёного
Джорджа Буля. Это яркий пример учёного-самоучки, научные разработки которого актуальны и в наше время. Джордж родился 2 ноября 1815 года в английском городе Линкольне, в семье башмачника. Отец Буля был малограмотным, но увлекался математикой, а денег на образование сына в семье не было. Поэтому Джордж окончил только начальную школу. Он попытался учиться в коммерческом училище, но интереса к коммерции не проявил и бросил училище. Дальнейшее образование он приобретал самостоятельно. Знание древних языков в те времена было показателем высокого уровня образования джентльмена. Конечно, латинский или греческий не преподавали в школе, которую посещал Буль. Поэтому он сам изучил эти языки, пользуясь поддержкой мало­образованного отца, и в возрасте 12 лет сумел перевести оду Хорейса на английский язык. Далее овладел французским, немецким и итальянским языками. В 16 лет Джордж успешно преподавал в деревенской школе, а в 20 открыл собственную школу в родном городе Линкольне. В редкие часы досуга юноша зачитывался математическими журналами Механического института. Он проштудировал “Математические начала” Ньютона, “Аналитическую меха­нику” Лагранжа, труды Лапласа и других знаменитых авторов.