Как построить четырехугольник

Предлагаю вашему вниманию задачу о четырехугольнике с заданным отношением трех сторон. Она мне попалась недавно в проверочной работе студента-заочника. Задача интересна тем, что ключевую роль в ней играет неожиданно появляющийся равносторонний треугольник, активно используются свойства биссектрисы треугольника, теоремы косинусов и Пифагора. Решение задачи полезно знать учащимся, решающим задачи повышенного уровня сложности.

Задача. Построить четырехугольник АВСD, длины сторон АВ, ВС и СD которого относятся как 1 : 3 : 2, а диагонали являются биссектрисами углов АВС и ВСD.

Решение. Анализ. Допустим мы такой четырехугольник АВСD построили, 0 – точка пересечения диагоналей. Обозначим длину стороны АВ буквой b, тогда ВС=3b, а СD=2b. Возьмём на ВС точку К, так чтобы ВК=АВ= b. Тогда КС= СD=2b.

Обозначим точку пересечения прямой КО со стороной АВ буквой Н.

Рассмотрим треугольники КОС и ОСD, у них общая сторона ОС и равные стороны СD и КС, углы КСО и ОСD равны по условию (АС – биссектриса). Значит треугольники КОС и ОСD равны по первому признаку равенства треугольников. Значит ОК= ОD, углы КОС и СОD равны.

Далее рассмотрим треугольники КОВ и АОВ, у них тоже есть общая сторона ОВ и равные стороны АВ и КВ, углы КВО и ОВА равны по условию (ВD – биссектриса). Значит треугольники КОВ и АОВ равны по первому признаку равенства треугольников. Значит ОК= ОА, углы КОВ и АОВ равны.

Теперь заметим, что углы АОВ и СОD, ВОК и DОН, АОН и КОС – вертикальные, а значит равны. Но тогда равны все шесть углов АОВ, СОD, ВОК, DОН, АОН, КОС и равны 360:6 = 60 градусам. А треугольник АКD – равносторонний (следует из равенства треугольников АОК, КОD и АОD).  Следовательно АК=КD=АD.

Рассмотрим треугольник ВОС, у него угол ВОС равен 120 градусам, а ОК – биссектриса этого угла. Так как биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон, то ОС=2ВО. По теореме косинусов имеем ВС²=ВО²+СО² – 2*ВО*СО*cosÐВОС или

(3b)²= ВО²+(2ВО)² – 2*ВО*2*ВО*(–0,5),

9b²= 7ВО² или ВО=3b/

Из треугольника ВКО по теореме косинусов имеем

ВК²=ВО²+КО² – 2*ВО*КО*cosÐВОК или

b²=9b²/7+КО² – 2*3b/*КО*0,5.

0=2b²/7+КО² –3b/*КО. Умножая обе части уравнения на 7 получаем квадратное уравнение относительно КО.

7КО² –3b*КО + 2b² =0, решения КО=2b/ и КО=2b/. Рассмотрим первый случай, КО=2b/. Тогда по свойству медиан треугольника КН=КО*3/2= 3b/. То есть ВО=КН, а СО=2КН.

Из этого равенства вытекает порядок построения искомого четырёхугольника.

Построение. Берём произвольный отрезок АD, строим правильный треугольник АКD со сторонами, равными АD. Далее строим биссектрисы углов А и D этого треугольника. Обозначаем точку пересечения этих биссектрис буквой О. Измерим длину биссектрисы треугольника АКD и отложим отрезок такой же длины на биссектрисе DО за точку О, получим вершину В. Продолжим прямую ВК до пересечения с биссектрисой АО, получим вершину С. Соединим последовательно вершины и получим искомый четырехугольник.

Доказательство. Докажем, что данный четырехугольник соответствует условию задачи. Докажем, что АС – биссектриса угла ВСD. Это вытекает из равенства треугольников АКС и АDС по первому признаку (АС – общая, АК= АD по построению, углы КАС и DАС равны, так как АС – биссектриса). Аналогично, из равенства треугольников АВD и ВКD вытекает равенство углов АВD и КВD, ВD – биссектриса угла АВС.

Теперь докажем, что АВ : ВС : СD = 1 : 3 : 2. Пусть ЕD=ВО=а. Выразим через а отрезок ЕК, равный половине стороны треугольника АКD (биссектриса в равностороннем треугольнике является высотой и медианой). В прямоугольном треугольнике ЕКD по Теореме Пифагора

КD²=ЕК²+ ЕD² или (2ЕК)²=ЕК²+ а², ЕК²= а²/3. ЕК= а/.

Далее из прямоугольного треугольника ВКО по теореме косинусов

ВК² =ВО²+ ОК² – 2*ВО*ОК*cosÐВОК или

ВК² = а²+ (2а/3)² – 2* а *2а/3 *1/2 = 7а²/9, ВК= а/3.

Найдем теперь отношение КС к ВК. Пусть оно равно k. Тогда отношение отрезков ОС и ВО тоже равно k, по свойству биссектрисы ОК угла ВОС.

Имеем КС= k*ВК, значит ВС = ВК + КС = ВК + k*ВК = (1 + k)*ВК.

В треугольнике ВОС по теореме косинусов

ВС² =ВО²+ ОС² – 2*ВО*ОС*cosÐВОС или

(1 + k)²*ВК² = а²+ k²а² – 2*а*k*а*(-1/2),

(1 + k)²*7а²/9 = а²+ k²а² + kа²,

7а² + 14 kа² + 7k²а² = 9а²+ 9k²а² + 9kа², разделив обе части на а² получаем квадратное уравнение относительно k,

2k² – 5k + 2 = 0, отсюда k = 2 и КС = 2 ВК. Отсюда АВ : ВС : СD = 1 : 3 : 2.

Второй корень квадратного уравнения k = 0,5 соответствует случаю СD : ВС : АВ = 1 : 3 : 2.

Исследование. Поскольку при построении мы брали произвольный отрезок АD, то четырехугольников с заданными свойствами можно построить бесконечно много.

Частный случай. Предположим, что b равно корню квадратному из семи. То есть ВК=АВ= , СК= СD = 2. Тогда ВО = DЕ = КН = 3. 

Статья в Документах Google.