Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

среда, 24 января 2018 г.

Биссектриса делит высоту треугольника



Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе под номером 26. В решении этих задач используются свойства биссектрисы треугольника и теорема синусов.

Задача 1. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25:24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=14.
Решение. 1 способ. Пусть высота треугольника ВН пересекается с биссектрисой угла A в точке О. Тогда ВО:ОН=25:24.
Рассмотрим треугольник АВН, по свойству биссектрисы ВА:АН=ВО:ОН=25:24. Отсюда, по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике cosА=АН:АВ=24:25=0,96. Из основного тригонометрического тождества находим
sin2А=1 – cos2А= 1 – 0,962= 0,0784.
sinА=0,28.

По теореме синусов в треугольнике АВС имеем 2R = ВС: sinА=14:0,28=50.
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC R =50:2=25.
Ответ 25.
2 способ. Пусть высота треугольника ВН пересекается с биссектрисой угла A в точке О. Тогда ВО:ОН=25:24.
Из треугольника АВН, по свойству биссектрисы ВА:АН=ВО:ОН=25:24. Будем считать, что ВА=25у, АН=24у, ВО=25х, ОН=24х. Тогда ВН=ВО+ОН=49х.
По теореме Пифагора ВА2=АН2+ВН2 или (25у)2=(24у)2+(49х)2. Отсюда
(25у)2 – (24у)2 = (49х)2, 625у2 – 576у2 = 492х2, 49у2 = 492х2, у2 = 49х2, у = 7х.
ВА=25у=25*7х = 175х.
sinА=ВН:ВА=49х: 175х= 0,28. А далее как в первом способе.
Ответ 25.
Второй способ интересен тем, что в нем устанавливается, что сторона АВ в семь раз больше ВО, а отрезок АН в семь раз больше ОН.

Задачи для самостоятельного решения.

  1. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите длину стороны ВС треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 26 см.
  2. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=8.
  3. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=18.
Еще подобные задачи и их решения можно найти по ссылке http://school.umk-spo.biz/gia/forum/treyg/bsdl_2