Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

пятница, 2 февраля 2018 г.

Когда биссектриса и медиана перпендикулярны



Рассмотрим еще одну геометрическую задачу высокого уровня сложности из контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике. В решении используются свойства
биссектрисы и медианы треугольника, теорема Пифагора и другие свойства прямоугольных треугольников. Приведено два способа решения с разными дополнительными построениями.
Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение.1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ – биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует, что АВ= DВ= DС.
Тогда по свойству биссектрисы треугольника отрезок ЕС в два раза больше АЕ (так ВС в два раза больше АВ).

Проведем DМ параллельно ВЕ, тогда DМ – средняя линия треугольника ВСЕ, значит ЕМ=МС=АЕ.
Рассмотрим треугольники АОЕ и DОЕ. У них ОЕ – общая, АО= DО и углы АОЕ и DОЕ – прямые. Треугольники АОЕ и DОЕ равны по первому признаку, значит АЕ= DЕ.
В треугольнике АDМ: DЕ-  медиана и DЕ=АЕ=ЕМ, значит треугольник АDМ – прямоугольный, угол АDМ – прямой. АD=208, DМ=104, по Теореме Пифагора АМ2= АD2+ DМ2=2082+1042=1042*5. АМ=104√5. АС=(АМ/2)*3=156√5.
В треугольнике АDМ отрезок ОЕ является средней линией и ОЕ= DМ/2=52. Значит ВО=ВЕ-ОЕ=208-52=156.
В треугольнике АВО по теореме Пифагора АВ2=ВО2+АО2=1562+1042= 522*13.
АВ= 52√13. Значит ВС=2*АВ= 104√13.
Ответ: АВ= 52√13, ВС=104√13, АС=156√5.
1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ –
биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует АО=ОD=108 и  АВ= DВ= DС.
Проведем прямую СК параллельно АD до пересечения с продолжением АВ в точке К. Тогда АD – средняя линия треугольника КВС и АВ=АК. Но АО - средняя линия треугольника КВМ и КМ=208, DО- средняя линия треугольника МВС и МС=208. В треугольнике КВС точке Е – точка пересечения медиан, значит ЕМ=ВЕ/2=104, ВМ=ВЕ+ЕМ=208+104=312.
Так АD перпендикулярна ВМ, то и КС перпендикулярна ВМ. В прямоугольном треугольнике ВМС по теореме Пифагора ВС2=ВМ2+МС2=3122+2082= 1042*13. ВС=104√13, отсюда АВ=ВС/2= ВС=52√13.
Прямоугольные треугольники АОЕ и МЕС подобны, так как имеют равные острые углы АЕО и МЕС (вертикальные).Так как МС в два раза больше АО, то ЕС в два раза больше АЕ и ЕМ в два раза больше ОЕ. То есть ОЕ= ЕМ/2=52.
В треугольнике АОЕ по теореме Пифагора АЕ2= АО2+ ОЕ2=1042+522=522*5. АЕ=52√5. Но АС= 3АЕ=156√5.
Ответ: АВ= 52√13, ВС=104√13, АС=156√5.


Задачи для самостоятельного решения.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 92. Найдите стороны треугольника ABC.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника ABC.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 72. Найдите стороны треугольника ABC.