Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

четверг, 15 марта 2018 г.

Четырёхугольник вписан в окружность

Рассмотрим решение задачи повышенной сложности под номером 26 из 22 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».
 В решении используются свойства вписанного
четырёхугольника, теоремы синусов и косинусов, свойства параллельных прямых.

Задача. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=5 и CD=17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке Р, причём ∠AРB=60 градусам. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение. Проведем прямую АК параллельно диагонали BD до пересечения с окружностью в точке К. Тогда АBDК - вписанная трапеция, значит она равнобедренная и DК=АВ=5. По свойству параллельных прямых накрестлежащие углы ВРА и РАК равны, значит угол РАК тоже равен 60 градусам.

 Четырёхугольник ACDК - вписанный, значит суммы противоположных углов у него равны 180 градусам и угол CDК равен 180 - 60 = 120 градусам.
Соединим отрезком точки С и К. В треугольнике CDК по теореме косинусов СК*СК=CD*CD + DК*DК - 2*CD*DК*cosCDК. Получаем
 СК*СК=17*17 + 5*5 - 2*17*5*cos120∘ = 289+25+85 =399.
Значит СК равен корню квадратному из 399.
В этом же треугольнике CDК по теореме синусов СК/sinCDК = 2R.
То есть R= СК/(2sin120).
Радиус равен отношению корня квадратного из 399 к корню квадратному из 3.
Ответ  Радиус равен корню квадратному из 133.