Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

Текстовые задачи

Большая подборка текстовых задач из  открытого банка заданий ЕГЭ и с сайта МИФИ по адресу https://sites.google.com/site/veroatnononefakt/ege-po-matematike/tekstovye-zadaci

В16. 3а определенное время на заводе собирают 90 автомобилей. Первые 3 ч: на заводе выполняли установленную норму, а затем стали собирать на один автомобиль в час больше. Поэтому за час до срока уже было собрано 95 автомобилей. Сколько автомобилей в час должны были собирать на заводе?

Решение. Обозначим через х – количество автомобилей, которое должны были собирать на заводе по норме. Время должно было быть затрачено 90:х. Первые три часа выполняли норму, значит изготовлено 3х автомобилей. Дальше изготовляли на 1 больше в час, то есть х +1. С такой производительностью работали (90:х – 4) часов. Таким образом изготовлено всего 3х +(90:х – 4)( х +1) = 95 автомобилей. Умножая обе части уравнения на х получим 3х2 +(90 – 4х)( х +1) = 95х. Раскрывая скобки и приводя подобные члены уравнения, получаем х2 + 9х – 90 = 0. Корни этого уравнения 6 и -15. Ответ 6.

В17. Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 54 км, и встречаются через 2 ч. Определите скорость каждого  велосипедиста, если скорость у одного из них на 3 км/ч больше, чем у другого.
Решение. Обозначим через х – скорость одного велосипедиста, тогда скорость второго х+3. Поскольку до встречи они ехали два часа, то первый проехал 2х км, а второй 2(х + 3) км. Вместе проехали весь путь, 54 км. Получаем уравнение 2х+2(х + 3) = 54. Решая его, находим скорости велосипедистов 12 км/ч и 15 км/ч. Ответ 12 км/ч и 15 км/ч.

В18. Два пешехода отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 50 км, и встречаются через 5 ч. Определите скорость первого пешехода, если его скорость на 2 км/ч больше, чем у другого.
Решение. Обозначим через х – скорость одного пешехода, тогда скорость второго х+2. Поскольку до встречи они шли пять часов, то первый прошёл 5х км, а второй 5(х + 2) км. Вместе прошли весь путь, 50 км. Получаем уравнение 5х+5(х + 2) = 50. Решая его, находим скорости пешеходов 4 км/ч и 6 км/ч. Ответ 6.

В19. Найдите двузначное число, если частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 4, а частное от деления произведения цифр на сумму цифр равно 2.
Решение. Обозначим через х – цифру, обозначающую количество десятков в искомом числе, через у – цифру, обозначающую количество единиц. Тогда само число можно записать 10х + у, сумму его цифр х + у, произведение цифр ху.
Из первого условия получаем уравнение (10х + у):( х + у ) =4, или 10х + у = 4( х + у ). После раскрытия скобок и приведения подобных получаем у = 2 х.
Из второго условия получаем уравнение ху:( х + у ) =2, или ху = 2( х + у ). Подставляя вместо у равную величину 2х, получаем 2х2 = 6х, х2 = 3х, х2 - 3х= 0. Решения этого уравнения 0 и 3. Но число дано двузначное, значит х не равен нулю. Получаем одно решение х= 3, у = 6.  Ответ 36.
       
В20. Найдите двузначное число, если произведение его цифр в 6 раз меньше самого числа, а если к исходному числу прибавить 9, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Решение. Обозначим через х – цифру, обозначающую количество десятков в искомом числе, через у – цифру, обозначающую количество единиц. Тогда само число можно записать 10х + у, произведение его цифр ху.
Из первого условия получаем уравнение 10х + у = 6ху.
Из второго условия получаем уравнение 10х + у + 9 = х + 10 у, или 9х + 9 = 9 у, у = х + 1. Подставляя вместо у равную величину х +1, получаем 10х + х + 1 = 6х(х +1). Раскрывая скобки и перенеся все члены в правую часть уравнения получим 6х2 - 5х – 1 = 0. Дискриминант равен 49. Корни этого уравнения 1 и -1/6. Но число -1/6 не соответсвует условию задачи. Получаем одно решение х= 1, у = 2.  Ответ 12.

В21. К 40% -ному раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60% . Найдите первоначальный вес раствора.
Решение. Обозначим через х – первоначальный вес раствора. Тогда соляной кислоты в нём было 0,4х. Вес нового раствора стал х + 50, причём соляной кислоты в нём 0,4х + 50. Поскольку раствор стал 60% -ным, то получаем уравнение 0,6(х + 50) = 0,4х + 50. Отсюда 0,2х = 20, х = 100. Ответ 100.

В22. Какое количество воды нужно добавить в 1 литр 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить 3%-ный раствор?
Решение. Обозначим через х – количество воды, которое нужно добавить в раствор. В исходном растворе уксуса было 0,09 литра. В новом его останется столько же, но объём нового раствора стал (1 + х) литров. Поскольку раствор стал 3% -ным, то получаем уравнение 0,03(х + 1) = 0,09. Отсюда 0,03х = 0,06, х = 2. Ответ 2.

В23. Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10% , а затем еще на 20% . Какова окончательная цена товара?
Решение. После первого снижения цена стала  равной 900 рублям, а 20% от 900 равны 180 рублям. 900 – 180 = 720. Ответ 720.

В24. Цену товара повысили на 25% , затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12 % . На . сколько процентов повысили первоначальную цену товара?   
Решение. После первого повышения цена составляла 125% от начальной. 10% от 125 равны 12,5. Значит, после второго повышения цена составляла 137,5%. 12% от 137,5 равны 16,5. Значит, после третьего повышения цена составляла 154% от начальной. Ответ 54.

В25. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?
Решение. После первого года сумма станет равной 1030 рублям. После второго года 3% будет начислено на 1030, и составит 30,9 руб. То есть сумма станет равной 1060,9 руб. Ответ 60,9.

В26. Найдите первоначальную сумму вклада  (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.
Решение. После первого года сумма составляла 103% от начальной. 3% от 103 равны 3,09. Значит, после второго года сумма составляла 106,09% от начальной и выросла на 6,09%. Эти  6,09% равны 304,5 рублям. Чтобы найти начальную сумму 304,5: 6,09*100 = 5000. Ответ 5000.

В27. В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся яблок. Во второй день 180% от того количества яблок, которое было отпущено в первый день. В третий день, — оставшиеся 88 кг яблок. Сколько килограммов яблок было на складе первоначально?